Задачі CETO Осінь-2019

Олімпіада CETO — це застосування комп’ютерних методів обчислень у природничих науках та математиці. Ми пропонуємо поєднати досвід різних предметів та втілити його у коді для досягнення максимально ефективного результату. Так ви на власному досвіді відчуєте технології та підходи, які сьогодні застосовуються для вирішення практичних задач науки, бізнесу та технологій!

Реєструйтеся та починайте розв’язувати задачі, наведені нижче, це буде цікаво!

Для всіх учасників діє технічна підтримка у Telegram (див. посилання під задачами).

Не забувайте про наш телеграм-канал TeamOlymp! За наявності запитань звертайтесь до Олександра Пилиповського ( + @OlekPr у телеграмі) та Олени Олішевської ( + @lenaolenya у телеграмі).

Регламент CETO

Захист робіт: 20 жовтня 2019 (перенесено з 19 жовтня)
Київ, пр-т Глушкова, 4г, факультет РЕКС КНУ імені Тараса Шевченка


Завантажити задачі у PDF

Доба довгоствольної артилерії

Секретний полігон планети \(X\) було побудовано для випробовувань новітніх доробок, які працюють за старими принципами. Протягом листопаду за місцевим часом заплановано огляд можливостей гаубиці моделі CE-19, яка здатна вистрілювати снаряд масою \(m\) зі швидкістю \(v_0\) під довільним кутом до горизонту. Фахівці зауважили, що планета \(X\) має досить щільну атмосферу й результати випробовувань можуть значно відрізнятись від лабораторних. Заздалегідь відомо, що сила опору, яка діє на снаряд, напрямлена протилежно до миттєвої швидкості й може бути записана як

\( F = k v^\beta, \)

де коефіцієнт \( \beta  \) приймає різні значення в залежності від метеорологічних умов, а \( k \), здебільшого, визначається характеристиками снаряду.

Знайдіть залежність кута максимальної дистанції стрільби від параметрів сили опору для успішного проведення випробовувань артилерії.

Примітка. Величина \( k \) має параметричну розмірність. Слід проаналізувати, як можна вважати його фактичне значення для заданого снаряда незалежним від \( \beta  \).

Летючий цирк Монті

Після виснажливого робочого дня доктор Джон Кліз пішов на відпочинок до Летючого цирку Монті. В одному з номерів гімнастка Конні переходила між двома платформами по небезпечно еластичному тросу. Зачарований майстерністю гімнастки Джон рахував кожен її крок. Карколомний номер ускладнювався тим, як сильно розтягувався трос.

  1. Як залежить висота на яку просідає трос від горизонтальної відстані від еквілібристки до початкової платформи?
  2. Порахуйте кількість кроків необхідних для того аби артистка подолала відстань між платформами.

Наступний номер був не менш разючий. Конні з іншим гімнастом Томом на тому ж тросі синхронно йшли на зустріч один одному, зустрілись по середині, пройшли повз один одного, і дійшли до протилежних платформ. Джон і цього разу рахував кроки, а трос розтягувався ще більше.

  1. Порахуйте і ви скільки знадобилось кроків артистам.

Для оцінки використовуйте наступну інформацію: Конні важить 50 кг та робила кроки по 30 см, Том важить 80 кг та робив кроки по 40 см. Відстань між платформами 10 м, довжина тросу до натягу 9 м. Його коефіцієнт пружності 250 Н/м. Також вважайте, що канат під ногами у гімнастів не проковзував.

Мирний атом

В рамках програми ООН по зниженню аварійності атомних станцій професору Сузірьскому замовили моделювання реакції ядерного розпаду в радіоактивних матеріалах.

Для оцінки порогу ланцюгової реакції він вирішив користуватись наступною спрощеною моделлю: матеріал являє собою двовимірну правильну прямокутну ґратку розміру \(N\times N\) в вузлах якої на відстані \(d\) знаходяться радіоактивні атоми. У початковий момент часу ядро яке знаходиться в центрі зразку розпадається, і випромінює два надшвидких нейтронів у випадковому напрямку. Перше ж ядро до центра якого нейтрон наближається на відстань \(r\) захоплює його і саме розпадається з випроміненням пари нейтронів у випадкових напрямах. Якщо до жодного ядра нейтрон не наближається на таку відстань — він вільно пролітає крізь всю ґратку і втрачається. Захоплення нейтронів і розпади продовжується доти, доки всі нейтрони не вилетять за ґратку. Вважаючи що час прольоту нейтрона крізь ґратку набагато менше ніж час потрібний на захоплення і розпад ядра, знайдіть:

  1. Як виглядає розподіл середньої кількості ядер, що залишається після того, як відбулись всі розпади й з ґратки вилетів останній нейтрон, від «густини ядер» — відношення \(r/d\), якщо усереднювати по великій кількості експериментів (із різними випадковими кутами, але при фіксованому \(r/d\))? Чи існує деяка «критична густина» до якої практично всі ядра залишаються цілими, а після якої — практично всі розпадаються? Як вона залежить від розміру ґратки?
  2. У якій долі експериментів яка доля ядер виживає за фіксованої густини ядер? Якщо відповідь у попередньому пункті позитивна — розгляньте окремо випадки густини меншої за критичну, більшої за критичну та у «перехідному режимі». Результати зручно подати у вигляді гістограми.
  3. Додатково. Створіть програму для візуалізації ходу експерименту.
  4. Додатково. Що зміниться при аналізі тривимірної ґратки?

Як сума кубів

«Відомо, що будь-яке натуральне число може бути представлене у вигляді суми не більше чотирьох квадратів. Багато чисел можуть бути представлене як сума двох квадратів навіть не одним способом. А що відомо про куби? Цікавіше за все представляти натуральні числа як суму трьох кубів. Якщо дозволити кубам дозволити бути від’ємними, то існує гіпотеза, що “більшість” чисел має таке представлення, причому нескінченно багато.» — доповідав професор пан Слободан на лекції з теорії чисел.

Студенту другого курсу Непосидицькому було нудно слухати лекцію, тож він одразу взявся розширювати межі пізнаного людством. Він вирішив досліджувати властивості функції \(a_3(n)\) — кількість способів представити число \(n\) у вигляді суми \(x^3+y^3+z^3\), де \(x, y, z\in\mathbb{N}\) — додатні цілі числа (представлення що відрізняються лише порядком доданків вважаються однаковими). Допоможіть йому реалізувати план досліджень.

  1. Придумайте максимально швидкий алгоритм підрахунку функції \(a_3(n)\). Знайдіть суму \(a_3(n)\) для всіх \(n\le10\,000\,000\,000\).
  2. Знайдіть мінімальне число \(n\) для якого \(a_3(n) = 10\). Знайдіть \(n\) для якого \(a_3(n)\ge20\), \(a_3(n)\ge100\).
  3. Знайдіть середнє значення \(a_3(n)\) — межу \(\frac{1}{n}\sum\limits_{k\le n}a_3(k)\) хоча б з точністю до 5-го знаку. Чи можете ви знайти цю границю аналітично? Що буде якщо розглядати суми не 3, а 2 чи 5 кубів?
  4. Додатково. Спробуйте знайти як виглядає асимптотика функції \(\sum\limits_{k\le n} k^q a_p(k)\) при великих \(n\) в залежності від параметрів \(q\) та \(p\), якщо \(a_p(k)\) — кількість способів подати число \(k\) у вигляді суми \(p\) кубів.

 

 


Успіху!

Задачі CETO-2019 (зима)

Командну олімпіаду з комп’ютерного експерименту CETO розпочато!

Реєструйтеся та починайте розв’язувати задачі, наведені нижче, це буде цікаво!

Для всіх учасників діє технічна підтримка у Slack, запрошення до чату надаються через зареєстрованих капітанів та керівників.

Не забувайте про наш телеграм-канал TeamOlymp! За наявності запитань звертайтесь до Олександра Пилиповського ( + @OlekPr у телеграмі).

Регламент CETO

Захист робіт: 9 лютого 2019 (перенесено з 3-го лютого)
Київ, пр. Глушкова, 4г, факультет РЕКС КНУ імені Тараса Шевченка


Завантажити задачі у PDF

Рибне життя

Через скороченя фінансування фундаментальних досліджень доктор Біодольський був вимушений взяти замовлення від приватного підприємства, ТОВ «Мегариба», на розробку оптимального режиму розведення риби у садку. Зазвичай математичні моделі, які описують розвиток істот із сезонним розмноженням, у першому наближенні описуються дискретними відображеннями виду \(x_{n+1} = f(x_n)\) де \(x_n\) — розмір популяції на \(n\)-му сезоні. За початкову точку свого дослідження доктор Біодольський обрав модель Рікера із відбраковуванням. Вона описується функцією відображення

\(f(x) = (1-\gamma) x\, a^{1-x}.\)

Тут \(0<\gamma < 1\) — коефіцієнт відбраковування, \(a > 0\) — керівний параметр (швидкість зростання популяції), а \(x\) — розмір популяції у певних одиницях. Канадський вчений Білл Рікер ввів його для опису ринку риболовлі у 1954 році.

Яка доля може спіткати хазяйство господаря залежно від значень \(a\) і \(\gamma\)? Побудуйте графік кінцевого розміру популяції як функції від \(\gamma\) для різних значень \(a\) і зробіть висновки.

Модифікація гравітації

Команда космічного корабля під керівництвом капітана Зоріна, знаходячись біля невідомої планети, виявила, що рух корабля у полі тяжіння планети відрізняється від очікуваного. Швидкі виміри показали, що гравітаційна взаємодія не є ньютонівською, а сила взаємодії напрямлена вздовж радіус-вектора та дорівнює за модулем

\(F(r) = -\frac{k}{r^{2+\alpha}},\)

де \(\alpha \ll 1\) — маленьке число, \(k\) — та сама константа, що фігурувала би у випадку звичайної ньютонівської гравітації. Параметри планети співпадають із параметрами Землі. Команді корабля для навігації у космосі необхідно обрахувати кілька базових навігаційних задач:

  1. Нехай у початковий момент часу корабель знаходиться на орбіті, яка за умов немодифікованої гравітації є геостаціонарною (тобто корабель весь час знаходиться над тією самою точкою планети). Чи впаде він з цієї орбіти, якщо гравітація є модифікованою? Знайдіть час та кількість обертів до зіткнення з поверхнею планети як функцію константи \(\alpha\).
  2. Знайдіть другу космічну швидкість як функцію константи \(\alpha\), тобто найменшу початкову швидкість, яку необхідно надати тілу аби воно вийшло за межі гравітаційного впливу планети.
  3. Опційно. Якщо \(\alpha\) — дуже мале число, то перший закон Кеплера про еліптичність орбіти буде виконуватись лише наближено, орбіта буде постійно лежати в одній площині, проте параметри еліпса будуть повільно змінюватись з часом. Визначте, за яким законом обертається його більша напіввісь та як змінюються довжини напівосей з часом.

Бігова амеба

Доктор Біодольський вирішив прийняти участь у олімпійських іграх із селекції та генного інжинірінгу OGSGI-2019. Серед дисципліни для змагань він обрав перегони на виживання в категорії одноклітинних. Досліджуючи рух одного з перспективних спортсменів — амеб Amoeba virtualius sprintius, він визначив, що вони рухаються зі швидкістю 1 міліметр на хвилину та без джерела поживних речовин можуть активно рухатись \(T\) хвилин. За відсутності зовнішніх подразників напрямок руху вони обирають довільно і через свою непосидючість ніколи не сидять на місці. Він поставив ряд дослідів з руху амеби у 1-вимірній трубочці так, що вона могла рухатись тільки праворуч або ліворуч.

  1. Знайдіть розподіл імовірностей за відстанями (тобто ймовірності того, що амеба загине на відстані \(x\) від початкової точки), вважаючи що амеба приймає рішення про напрямок руху кожну хвилину наново випадково. Як цей розподіл змінюється при зміні \(T\)? Чи має він простий опис за великих значень \(T\)?
  2. На яку відстань вона буде відходити «в середньому»? Оскільки напрямки праворуч і ліворуч еквівалентні, то середнє відхилення тут буде нульове, тож треба рахувати корінь з середньоквадратичного відхилення.
  3. Яка ймовірність для амеби за час \(T\) хоча б раз перетнути одну з «фінішних» ліній, розташованих в точках \(X\) та \(-X\)? Знайдіть розподіл кількостей «історій життя» амеб за часом першого перетину фінішної лінії.

Пробивний електрон

Електрон заряду \(e\) та маси \(m\) пролітає крізь прямокутну ґратку, утворену паралельними дротами нескінченної довжини, що розташовані на відстані \(a\) один від одного, через кожен з яких протікає струм \(I\). В одному напрямку ґратка складається із \(M\) провідників, а в іншому (з якого залітає електрон) — із \(N \ll M\). Траєкторія електрона у початковий момент часу лежить у площині, перпендикулярній до провідників.

  1. Використовуючи закон Біо—Савара—Лапласа, запишіть рівняння Ньютона, що будуть описувати динаміку електрона. Розділивши його на масу, виділіть єдину константу, що характеризує взаємодію електрона із окремим провідником. Знайдіть, як треба відмасштабувати відстань і час, щоб позбутись від цієї константи та від константи \(a\) у рівняннях (перетворити їх на одиниці). Якщо тепер вважати, що електрони налітають з великої відстані, на якій провідники на них не діють, то можна вважати, що в задачі є лише три параметри: модуль початкової швидкості електрона \(v\), кут, який утворює вектор швидкості до лінії провідників \(\theta\) та кількість шарів провідників \(N\).
  2. За яких значень початкової швидкості та кута входження електрона у систему його траєкторія залишається стабільною, і електрон виходить з іншого боку стінки з провідників, а за яких траєкторія стає хаотичною, і електрон «губиться» серед них?

Вигляд згори: дроти зі струмом і пролітаючі частинки.

 


Успіху!